Question

【題目】已知a、b∈R，向量 =（x ， 1）， =（﹣1，b﹣x），函數f（x）=a﹣ 是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得， ，且函數的定義域為

D= ．

又y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．

于是，b=0．

又對任意x∈D有f（x）=f（﹣x）

因此所求實數b=0．

（2）解：由（1）可知， （D=（﹣∞，0）∪（0，+∞）．

考察函數 的圖象，可知：f（x）在區間（0，+∞）上增函數．

f（x）在區間（﹣∞，0）上減函數

因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m，n同號．

①當0＜m＜n時，f（x）在 區間[m，n]上是增函數有 ，即方程 ，也就是2x2﹣2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，因此 ，解得 ．

②當m＜n＜0時，f（x）區間[m，n]上是減函數有 ，化簡得（m﹣n）a=0，

解得a=0．

綜上所述，所求實數a的取值范圍a=0或 ．

【解析】（1）利用向量的數量積公式求出f（x），利用偶函數的定義列出方程f（x）=f（﹣x）恒成立，求出b的值．（2）先判斷出f（x）的單調性，對x分段討論求出函數f（x）的最值，列出方程組，求出a 的值．