Question

已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）-1，則f（x）（　　）

• A、沒有零點
• B、有唯一零點
• C、有兩個零點x₁、x₂，且-1＜x₁＜0，1＜x₂＜2
• D、有兩個零點x₁、x₂，且1＜x₁+x₂＜3

Answer 1

分析：函數(shù)零點的判定定理即零點的存在條件，對一個函數(shù)零點的存在性常用導數(shù)求出函數(shù)的極值及各個區(qū)間的上的單調性借助圖形來確定函數(shù)零點的位置及零點的個數(shù)，故解決本題要先對函數(shù)求導，討論其極值到到的位置、正負以及各個區(qū)間上的單調性，由圖象變化規(guī)律結合零點存在定理確定正確選項．

解答：解：由題設函數(shù)的定義域為（-1，+∞）；
又f'（x）=1-

1

x+1

，令1-

1

x+1

=0得，x=0
當x＜0時，f'（x）=1-

1

x+1

＜0，
當x＞0時，f'（x）=1-

1

x+1

＞0，
故函數(shù)f（x）=x-ln（x+1）-1在（-1，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)
又f（0）=-1＜0，即一個零點在（-1，0）上；
f（1）=-ln2＜0，f（2）=1-ln2＜0，f（3）=2-ln4＞0，另一個零點在（2，3）上；
則1＜x₁+x₂＜3
故選D．

點評：本題考點是函數(shù)零點的判定定理，考查根據(jù)函數(shù)的單調性與極值確定函數(shù)零點的個數(shù)，其原理是零點存在的條件，本題是函數(shù)零點考查題型中較常見的題型，做題后要好好總結本題做題的規(guī)律，且能在同類題中進行推廣．