Question

【題目】已知△ABC，|AB|=8，AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，過點(diǎn)E（0，1）的直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系

則A（﹣4，0），B（4，0）

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則 ，

∴ ，

即mx2﹣y2=16m

當(dāng)m=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為y=0（x≠±4），

表示x軸所在直線去掉A、B兩點(diǎn)剩下的部分

當(dāng)m＞0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為

表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線去掉A、B兩點(diǎn)剩下的部

當(dāng)﹣1＜m＜0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為

表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓去掉A、B兩點(diǎn)剩下的部分

當(dāng)m＜﹣1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為

表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓去掉A、B兩點(diǎn)剩下的部分

當(dāng)m=﹣1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為 x2+y2=16（x≠±4）

表示以AB為直徑的圓去掉A、B兩點(diǎn)剩下的部分

（2）解：當(dāng)m=1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為 ，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不可能與 有交點(diǎn)，舍去；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=kx+1，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0）

聯(lián)立方程組 ，

消去y得：（1﹣k2）x2﹣2kx﹣17=0

由題意得：x1、x2是此方程的解

所以 ∴

所以 ，所以得 又直線l與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程有兩個(gè)不同的焦點(diǎn)，

則 ∴ 且 且k2≠1，∴ 或y0＜﹣16

所以P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程為

【解析】（1）以AB邊所在直線為x軸，以AB邊的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用AC與BC邊所在直線的斜率之積為定值m，建立方程，即可求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；（2）分類討論，聯(lián)立方程組，即可求P、Q兩點(diǎn)的中點(diǎn)M的軌跡方程．