Question

已知圓E：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）
（1）證明不論m取什么實數，直線與圓恒交于兩點；
（2）已知AC、BD為圓C的兩條相互垂直的弦，垂足為M（3，1），求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

解：（1）由m（2x+y-7）+（x+y-4）=0知直線l恒過定點，
又，
解得
∴直線l恒過定點A（3，1），
且（3-1）²+（1-2）²=5＜25?A（3，1）必在圓內，
故直線l與圓恒有兩交點．
（2）設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁，d₂．
則d₁²+d₂²═OM²=（）²=（）²=5．
四邊形ABCD的面積為：
S=×|AC|×|BD|=×2×2
=2≤50-（d₁²+d₂²）=45．
當且僅當d₁²=d₂²時取等號，
四邊形ABCD的面積的最大值為：45．
分析：（1）把直線l的方程變形后，根據直線l恒過定點，得到關于x與y的二元一次方程組，求出方程組的解即為直線l恒過的定點坐標，然后利用兩點間的距離公式求出此點到圓心的距離d，發現d小于圓的半徑，得到此點在圓內，故直線l與圓恒交于兩點；
（2）設圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂²=8，代入面積公式S=×AC×BD，使用基本不等式求出四邊形ABCD的面積的最大值．
點評：此題直線與圓相交的性質，恒過定點的直線方程以及點與圓的位置關系．第一問的關鍵是求出直線l恒過的A點坐標，判定A在圓內；第二問考查學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．學生做題時注意對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半．