Question

某中學，由于不斷深化教育改革，辦學質量逐年提高．2006年至2009年高考考入一流大學人數如下：

年　　　 份	2006	2007	2008	2009
高考上線人數	116	172	220	260

以年份為橫坐標，當年高考上線人數為縱坐標建立直角坐標系，由所給數據描點作圖（如圖所示），從圖中可清楚地看到這些點基本上分布在一條直線附近，因此，用一次函數y=ax+b來模擬高考上線人數與年份的函數關系，并以此來預測2010年高考一本上線人數．如下表：

年　　 份	2006	2007	2008	2009
年份代碼x	1	2	3	4
實際上線人數	116	172	220	260
模擬上線人數	y1=a+b	y2=2a+b	y3=3a+b	y4=4a+b

為使模擬更逼近原始數據，用下列方法來確定模擬函數．
設S=（y₁-y₁′）²+（y₂-y₂′）²+（y₃-y₃′）²+（y₄-y₄′）²，y₁′、y₂′、y₃′、y₄′表示各年實際上線人數，y₁、y₂、y₃、y₄表示模擬上線人數，當S最小時，模擬函數最為理想．試根據所給數據，預測2010年高考上線人數．

Answer 1

解：S=（a+b-116）²+（2a+b-172）²+（3a+b-220）²+（4a+b-260）²
=4b²+2（10a-768）b+（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²
當 5a+2b=384①時，S有最小值，
其中最小值為：
M=（a-116）²+（2a-172）²+（3a-220）²+（4a-260）²
=30a²-2×2160a+116²+172²+220²+260²-25a²+3840a-34²
當且僅當a=48時，M有最小值．
∴a=4代入①得b=7．
y₅=5×48+72=312．
答：2010年高考上線人數大約312．
分析：將已知表中代入模擬函數公式，求出s轉化為關于b的二次函數求出函數的最小值．
點評：本題考查利用題中定義得到二次函數，然后二次函數最值的求法，求出對稱軸，然后求出函數的最值．