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設函數f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函數，又f（ｘ）在（０，＋∞）上是減函數，并且f（ｘ）＜０，指出F（ｘ）＝在（－∞，０）上的增減性?并證明.

答案：
解析：

證明：設ｘ_１，ｘ_２∈（－∞，０），且ｘ_１＜ｘ_２，

則－ｘ_１＞－ｘ_２＞０

∵f（ｘ）在(0，＋∞)上是減函數.

∴f（－ｘ_１）＜f（－ｘ_２） ①

又∵f（ｘ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）上是奇函數，

∴f（－ｘ_１）＝－f（ｘ_１），f（－ｘ_２）＝－f（ｘ_２）

由①式得－f（ｘ_１）＜－f（ｘ_２）

∴f（ｘ_１）＞f（ｘ_２）

當ｘ_１＜ｘ_２＜０時，F（ｘ_２）－F（ｘ_１）＝－

∵F（ｘ_２）－F（ｘ_１）＝

又∵f（ｘ）在（０，＋∞）上總小于0.

∴f（ｘ_１）＝－f（－ｘ_１）＞０，f（ｘ_２）＝－f（－ｘ_２）＞０

又f（ｘ_１）＞f（ｘ_２）

∴F（ｘ_２）－F（ｘ_１）＞０且ｘ_１－ｘ_２＜０，

故F（ｘ）＝在（－∞，０）上是增函數

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