Question

已知函數f(x)=a-

2

2x+1

，g(x)=

1

f(x)-a

．
（1）若函數f（x）為奇函數，求a的值；
（2）若g（2x）-a•g（x）=0，有唯一實數解，求a的取值范圍；
（3）若a=2，則是否存在實數m，n（m＜n＜0），使得函數y=f（x）的定義域和值域都為[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質f（0）=0，代入可求a
（2）令t=2^x＞0，則可轉化為方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解，令h（t）=t²-at+1-a，則h（0）≤0，可求
（3）法一：由a=2可得，f(x)=2-

2

2x+1

，證易f（x）在R上是增函數，假設存在實數m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

判斷方程的解的存在情況即可
法二：易知f（x）在R上是增函數，假設存在實數m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的兩個不等負根，而由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

，令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

結合函數g（x）在（-∞，0]上為單調遞增函數可得（x）＞g（x），即方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上無解

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數
∴f（-x）=-f（x）∴f（0）=0
∴a=1（2分）
（2）∵g(x)=

1

f(x)-a

=-

2x+1

2

（1分）
∴g(2x)-ag(x)=-

22x+1

2

+a×

2x+1

2

=0（1分）
令t=2^x＞0，則問題轉化為方程t²-at+1-a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t²-at+1-a，則h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在實數m、n滿足題意．（1分）
f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函數∴f（x）在R上是增函數（2分）
假設存在實數m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

2- 2 2m+1 =m…(1) 2- 2 2n+1 =n…(2)

（2分）
∵m＜0∴0＜2^m＜1
∴0＜2-

2

2m+1

＜1
∴（1）式左邊＞0，右邊＜0，故（1）式無解．
同理（2）式無解．
故不存在實數m、n滿足題意．（2分）
法二：不存在實數m、n滿足題意．（1分）
易知f(x)=2-

2

2x+1

∵y=2^x在R上是增函數∴f（x）在R上是增函數（2分）
假設存在實數m、n（m＜n＜0）滿足題意，有

f(m)=m f(n)=n

即m、n是方程f（x）=x的兩個不等負根．（1分）
由2-

2

2x+1

=x得2x+1=-

2

x-2

令h（x）=2^x+1，g(x)=-

2

x-2

（1分）
∵函數g（x）在（-∞，0]上為單調遞增函數
∴當x＜0時，g（x）＜g（0）=1
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程2x+1=-

2

x-2

在（-∞，0）上無解
故不存在實數m、n滿足題意．（2分）

點評：本題主要考查了函數的奇偶性單調性及函數的零點與方程的根的相互轉化，解題的關鍵是熟練掌握函數的性質并能靈活應用．