Question

（本題滿分18分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分）
已知數列{a_n}滿足，(其中λ≠0且λ≠–1，n∈N*)，為數列{a_n}的前項和．
(1) 若，求的值；
(2) 求數列{a_n}的通項公式；
(3) 當時，數列{a_n}中是否存在三項構成等差數列，若存在，請求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）數列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差數列。

試題分析：(1) 令，得到，令，得到�！�………2分
由，計算得．……………………………………………………4分
(2) 由題意，可得：
，所以有
，又，……………………5分
得到：，故數列從第二項起是等比數列�！�…………7分
又因為，所以n≥2時，……………………………8分
所以數列{a_n}的通項…………………………………10分
(3) 因為  所以……………………………………11分
假設數列{a_n}中存在三項a_m、a_k、a_p成等差數列，
①不防設m>k>p≥2，因為當n≥2時，數列{a_n}單調遞增，所以2a_k=a_m+a_p
即：2´()´4^k–2 = ´4^m–2 + ´4^p–2，化簡得：2´4^{k - p}= 4^m–p+1
即2^2k–2p+1=2^2m–2p+1，若此式成立，必有：2m–2p=0且2k–2p+1=1，
故有：m=p=k，和題設矛盾………………………………………………………………14分
②假設存在成等差數列的三項中包含a₁時，
不妨設m=1，k>p≥2且a_k>a_p，所以2a_p = a₁+a_k ，
2´()´4^p–2 = – + ()´4^k–2，所以2´4^p–2= –2+4^k–2，即2^2p–4 = 2^2k–5 – 1
因為k > p ≥ 2，所以當且僅當k=3且p=2時成立………………………………………16分
因此，數列{a_n}中存在a₁、a₂、a₃或a₃、a₂、a₁成等差數列……………………………18分
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力及考查了學生通過已知條件分析問題和解決問題的能力．題目較難。