Question

設二次函數．
（1）求函數的最小值；
（2）問是否存在這樣的正數，當時，，且的值域為？若存在，求出所有的的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2），．

解析試題分析：（1）這里遇到的是復合函數的最值問題，它是由簡單的二次函數與指數函數復合而成的，遵循由內到外的解題順序，很容易求出最小值；（2）這里是含參數的問題，常規方法是對參數分類討論，如何分類，即分類的標準是什么？這是重點和難點，看解析往往是知其然，不知其所以然，這里的分類標準是將動區間與二次函數的定對稱軸進行比較，自然就會分出它們有三種相對位置關系，即對稱軸分別在區間的左、中、右，故討論分三種情形，當然討論必須遵守不重不漏的原則，因此我們還必須關注細節，如區間的端點等，學會討論重要，學會回避討論更重要，它對化繁為簡的能力要求非常高，這里的解法一是分類討論的，而解法二就回避了討論，解得很簡潔，用心體會一下．
試題解析：（1），令
則為上減函數，因此，則當時，          4分
（2）法一：
①當時，
而當時，的最大值為，故此時不可能使，且的值域為．7分
②當時，
則最大值為,即，
得與矛盾，故此時不可能．                                    10分
③當時，
∵，為減函數，則
于是，即，
，即 
∵，∴，                                13分
綜上所述，，．                                    14分
法二：
，
，即，即，為減函數，
于是，即，
，即 
∵，∴，                                14分
考點：1．函數性質的研究；2．含參數問題的討論；3．函數、方程與不等式的綜合．