Question

設x、y∈R，、為直角坐標平面內x、y軸正方向上的單位向量，=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設，是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB是矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據向量的表達式和||+||的值可推斷出點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F₂（0，2）的距離之和為8．根據橢圓的定義判斷出其軌跡為橢圓，進而根據c和a，求得b，則橢圓方程可得．
（2）先看當直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．根據=+=0可推斷出P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．不可知直線的斜率一定存在，設出直線方程，和A，B的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立消去y，根據韋達定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據=+和矩形的性質判斷出OA⊥OB，即•=0．求得x₁x₂+y₁y₂=0，進而求得k．
解答：（1）解：∵=xi+（y+2）j，=xi+（y-2）j，且||+||=8，
∴點M（x，y）到兩個定點F₁（0，-2），F₂（0，2）的距離之和為8．
c=2，a=4，則b==2
∴軌跡C為以F₁、F₂為焦點的橢圓，方程為+=1．

（2）∵l過y軸上的點（0，3），
若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點．
∵=+=0，
∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾．
∴直線l的斜率存在．設l方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=kx+3，+=1，消y得（4+3k²）x²+18kx-21=0．
此時，△=（18k²）-4（4+3k²）＞0恒成立且x₁+x₂=-，x₁x₂=-．
∵=+，
∴四邊形OAPB是平行四邊形．若存在直線l，使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即•=0．
∵=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
∴•=x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
即（1+k²）•（-）+3k•（-）+9=0，即k²=，得k=±．
∴存在直線l：y=±x+3，使得四邊形OAPB是矩形．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，