Question

【題目】已知橢圓 的右準線方程為，又離心率為，橢圓的左頂點為，上頂點為，點為橢圓上異于任意一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的準線方程和離心率即可求解；（2）設出點的坐標，寫出的直線方程，求出點的坐標，利用兩點間的距離公式和點在橢圓上進行化簡求解.

試題解析：（1）∵橢圓的右準線方程為 ∴ ∵離心率為 ∴

∴ ∴ ∴橢圓的方程為： ;

（2）方法（一）設點 ，則， ，即．

當時， ，則， ∴

∵點異于點 ∴

當且時，設直線方程為： ，它與軸交于點

直線方程為： ，它與軸交于點

∴，

∴

為定值．

方法（二）若直線斜率不存在，則直線方程為： ，此時，則，

∴

若直線斜率存在，設直線方程為： ，且

∴且

則聯立方程： 得： ，解得： 或，

即點 ∵點異于點∴

∴

∴直線的方程為： ，

則且

∴為定值．