Question

（本小題滿分12分）
已知函數
（1）若方程內有兩個不等的實根，求實數m的取值范圍；（e為自然對數的底數）
（2）如果函數的圖象與x軸交于兩點、且．求證：（其中正常數）．

Answer 1

解：（1）由，
求導數得到：……………………（2分）
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為．………………（6分）
（2）又有兩個實根
則兩式相減得到：
  ……………………．（8分）
于是

，故………………（9分）
要證：，只需證：
只需證：……………………………．（10分）
令，則只需證明：在上恒成立．
又則于是由可知．故知
上為增函數，則
從而可知，即（*）式成立，
從而原不等式得證．…………………（12分）

略