Question

已知向量|

a

|=1，|

b

|=

2

．
（Ⅰ）若向量

a

，

b

的夾角為60°，求

a

•

b

的值；
（Ⅱ）若|

a

+

b

|=

5

，求

a

•

b

的值；
（Ⅲ）若

a

•(

a

-

b

)=0，求

a

，

b

的夾角．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)向量數(shù)量積的定義，結(jié)合題中數(shù)據(jù)直接計算，可得

a

•

b

的值；
（II）將|

a

+

b

|=

5

平方，結(jié)合題中數(shù)據(jù)可得

a

2+2

a

•

b

+

b

2=5，代入數(shù)據(jù)得

a

•

b

=1；
（III）由已知等式算出

a

•

b

=

a

2=1，再根據(jù)平面向量的夾角公式算出

a

、

b

夾角的余弦值，即可得到

a

、

b

夾角的大小．

解答：解：（I）當(dāng)向量

a

，

b

的夾角為60°時，
求

a

•

b

=

|a|

•

|b|

cos60°=

2

2

；
（II）∵|

a

|=1，|

b

|=

2

．
∴由|

a

+

b

|=

5

，得（

a

+

b

）²=1+2

a

•

b

+2=5
解之得

a

•

b

=1；
（III）∵

a

•(

a

-

b

)=

a

2-

a

•

b

=0
∴

a

•

b

=

a

2=1，設(shè)

a

，

b

的夾角為α
則cosα=

a • b

|a| • |b|

=

2

2

，可得α=

π

4

．

點評：本題給出向量

a

、

b

滿足的條件，求

a

、

b

的數(shù)量積和夾角大小．著重考查了平面向量數(shù)量積的定義及其運算性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．