Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=-3于點D（-3，m）．
（Ⅰ）求m²+k²的最小值；
（Ⅱ）若|OG|²=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設y=kx+t（k＞0），聯立直線和橢圓方程，消去y，得到關于x的一元二次方程，利用韋達定理，求出點E的坐標和OE所在直線方程，求點D的坐標，利用基本不等式即可求得m²+k²的最小值；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知OD所在直線方程，和橢圓方程聯立，求得點G的坐標，并代入若|OG|²=|OD|?|OE|，得到t=k，因此得證直線過定點；
     （ii）若點B，G關于x軸對稱，寫出點B的坐標，求出△ABG的外接圓的圓心坐標和半徑，從而求出△ABG的外接圓方程．
解答：解：（Ⅰ）設y=kx+t（k＞0），
由題意，t＞0，由方程組，得（3k²+1）x²+6ktx+3t²-3=0，
由題意△＞0，
所以3k²+1＞t²，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=-，所以y₁+y₂=，
∵線段AB的中點為E，∴x_E=，y_E=，
此時k_OE==-．
所以OE所在直線方程為y=-x，
又由題設知D（-3，m）．
令x=-3，得m=，即mk=1，
所以m²+k²≥2mk=2，
（Ⅱ）（i）證明：由（Ⅰ）知OD所在直線方程為y=-x，
將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，解得G（-，），
又E（，），D（-3，），
由距離公式和t＞0，得
|OG|²=（-）²+（）²=，
|OD|=，
|OE|==．
由|OG|²=|OD|?|OE|，
得t=k，
因此直線l的方程為y=k（x+1），
所以直線l恒過定點（-1，0）；
（ii）由（i）得G（-，），
若點B，G關于x軸對稱，則B（-，-），
將點B坐標代入y=k（x+1），
整理得，
即6k⁴-7k²+1=0，解得k²=或k²=1，
驗證知k²=時，不成立，故舍去
所以k²=1，又k＞0，故k=1，
此時B（-，-），G（-，）關于x軸對稱，
又由（I）得x₁=0，y₁=1，所以點A（0，1），
由于△ABG的外接圓的圓心在x軸上，可設△ABG的外接圓的圓心為（d，0），
因此d²+1=（d+）²+，解得d=-，
故△ABG的外接圓的半徑為r==，
所以△ABG的外接圓方程為．
點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．其中問題（III）是一個開放性問題，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力，