Question

如圖，過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于、兩點，點Q是點P關于原點的對稱點.

（1）設，證明：；

（2）設直線AB的方程是，過、兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析.（2）.

【解析】

試題分析：（1）將直線與拋物線的方程聯立，消去y，得到二次方程，應用設而不求，整體代換思想，證明，進而證明；（2）將直線與拋物線的方程聯立，解出兩點的坐標，求出拋物線在點處的切線斜率，則圓心與點連線的斜率為切線斜率的負倒數，得到方程①，再將兩點的坐標代入到圓的方程中，得到方程②，解方程得到圓心坐標及半徑，解出圓的方程.

試題解析： (1) 由題意，可設直線的方程為，代入拋物線方程得

              ①

設、兩點的坐標分別是，則是方程①的兩根，所以

由得，又點Q是點P關于原點的對稱點，故點Q的坐標為，從而

所以

(2) 由得的坐標分別為

拋物線在點A處切線的斜率為3.

設圓C的方程是，則

解之得

故，圓C的方程是

考點：直線與圓錐曲線的位置關系，用數量積表示向量垂直.