Question

設函數(shù)f（x）=x1nx（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設F（x）=ax²+f（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調性；
（3）過點A（-e^-2，0）作函數(shù)y=f（x）的切線，求切線方程．

Answer 1

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域和導數(shù)，再求函數(shù)的“臨界點”，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，即求出函數(shù)的單調區(qū)間，再求出函數(shù)的最小值；
（2）先求出函數(shù)F（x）的定義域和導數(shù)F′（x），并對F′（x）進行化簡，再對a分類：a≥0時和a＜0時，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，下結論求出單調區(qū)間；
（3）先設切點坐標，再由導數(shù)的幾何意義和斜率的坐標公式，把A和切點的坐標代入列出方程，再構造函數(shù)，結合此函數(shù)的單調性求出函數(shù)唯一的零點，即是對應方程的根x₀，代入f'（x）求出斜率，再代入點斜式方程化為一般式．

解答：（1）解：由題意得函數(shù)的定義域為（0，+∞），
且f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得x=

1

e

．
∵當x∈（0，

1

e

）時，f'（x）＜0；當x∈（

1

e

，+∞）時，f'（x）＞0，
∴函數(shù)在（0，

1

e

）上遞減，在和（

1

e

，+∞）上遞增，
∴當x=

1

e

時，函數(shù)取極小值，也最小值為f（x）_min=

1

e

ln

1

e

，
（2）由題意得F（x）=ax²+lnx+1，且定義域為（0，+∞），
F′（x）=2ax+

1

x

=

2ax2+1

x

，
①當a≥0時，恒有F'（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當a＜0時，
令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
綜上，當a≥0時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當a＜0時，F(xiàn)（x）在（0，

- 1 2a

）上單調遞增，在（

- 1 2a

，+∞）上單調遞減．
（3）設切點T（x₀，y₀），則y₀=x₀lnx₀，
又k_AT=f′（x₀），把A（-e^-2，0）代入得，

x0lnx0

x0+ 1 e2

=lnx0+1，即e²x₀+lnx₀+1=0，
設h（x）=e²x+lnx+1，且定義域為（0，+∞），h′（x）=e²+

1

x

，
∴x＞0時，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴函數(shù)h（x）最多只有一個零點，
即e²x₀+lnx₀+1=0最多只有一個根，
根據(jù)h（x）=e²x+lnx+1特點：①“使e²x為整數(shù)”，②“使lnx為整數(shù)”，
需要給x特殊值（取1或對數(shù)底數(shù)的冪的形式）使h（x）=0，
易得h（

1

e2

）=e2×

1

e2

+ln

1

e2

+1=0，
∴即為函數(shù)h（x）唯一的零點x0=

1

e2

，也是對應方程e²x₀+lnx₀+1=0唯一的實根，
由f'（x₀）=ln

1

e2

+1=-1得，k_AT=-1，
則所求的切線方程是y-0=-（x+e^-2），即x+y+

1

e2

=0．

點評：本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調性、最值關系，由導數(shù)的幾何意義出求切線的方程，以及“超越方程”的根與函數(shù)的零點轉化等綜合應用，考查了分類討論思想、轉化思想和構造函數(shù)方法，易錯在求切線方程時，注意“在”和“過”某點的區(qū)別．