Question

（09年臨沂一模理）（12分）

已知點M在橢圓（a>b>0）上，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的右焦點F。

(1)若圓M與y軸相交于A、B兩點，且△ABM是邊長為2的正三角形，求橢圓的方程;

(2)若點F（1,0），設過點F的直線l交橢圓于C、D兩點，若直線l繞點F任意轉動時恒有|OC|²+|OD|²<|CD|²，求a的取值范圍。

Answer 1

解析：（I）∵△ABM是邊長為2的正三角形，∴圓M的半徑r＝2，┉┉┉┉┉┉1分

   ∴M到y軸的距離d＝┉┉┉┉┉┉┉┉2分

   又圓M與x軸相切，∴當x＝c時，得y＝,r＝┉┉┉┉┉┉┉┉3分

∴＝2，c＝┉┉┉┉┉┉┉┉4分

∵解得a＝3或a＝－1（舍去），則b²＝2a＝6. ┉┉5分

故所求的橢圓方程為.┉┉┉┉┉┉┉┉6分

（2）設C(x₁,y₁),D(x₂,y₂)。

①當直線CD與x軸重合時，有

∵c=1, ∴a²=b²+c²>1,

恒有┉┉┉┉┉┉┉┉7分

②當直線CD不與x軸重合時，設直線CD的方程為x=my+1，代入

整理得┉┉┉┉┉┉┉┉8分

∴

∵恒有，∴恒為鈍角，

則=x₁x₂+y₁y₂<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分

∴x₁x₂+y₁y₂=(m²+1)y₁y₂+m(y₁+y₂)+1=+1

┉┉┉┉┉┉┉┉10分

又>0

∴<0對mR恒成立，

即對mR恒成立。

當mR時，的最小值為0，∴<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分

∴,即

∴a>0,b>0, ∴a<b²,即a<a²-1, ∴a²-a-1>0.

解得或，即。

由①②可知，a的取值范圍是(,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分