Question

【題目】記

（I）若對任意的x0恒成立，求實數a的值；

（II）若直線l:與的圖像相切于點Q(m，n) ；

（i）試用m表示a與k；

（ii）若對給定的k，總存在三個不同的實數a1，a2，a3，使得直線l與曲線，，同時相切，求實數k的取值范圍。

Answer 1

【答案】（I）（II）（i）.（ii）見解析

【解析】

（I）利用說明是的最大值，也是極大值，求得a，再證明必要性；

（II）（i）利用導數的幾何意義及切點既在曲線上又在直線上，列出方程組，解得a，k.

（ii）根據題意求得方程：有三個不同的解時的k的范圍，再去證明與a是一一對應的.

（I）∵

∵，又∵恒成立，∴是的最大值

∴，∴；

反過來，當時，單調遞減，又，∴在（0，1）上遞增，在（1，上遞減，，∴恒成立.

∴

（II）（i）∵，由切點，則有：

，

把①代入②可得：，

代入①式得：（**），

（ii）根據題意方程（**）有三個不同的解，

令

∴

=

=

由，解得兩根分別為與

∴當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減

∴的極小值為；的極大值為

又∵時，

∴當時，方程（**）有三個不同的根，

下面說明三個不同的對應的也是不同的：

設方程（**）的三個不同的根分別為：，且

則有：，，，顯然

只需說明即可，

又由可得：

即，假設，

則有，即

即

即，令，即

設

∴

∴在上是減函數，即，與矛盾

∴假設不真，即

∴當，存在三個不同的實數使得直線與曲線，，同時相切．