Question

已知：點F是拋物線：x²=2py（p＞0）的焦點，過F點作圓：（x+1）²+（y+2）²=5的兩條切線互相垂直．
（Ι）求拋物線的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+b（k＞0）交拋物線于A，B兩點．
①若拋物線在A，B兩點的切線交于P，求證：k-k_PF＞1；
②若B點縱坐標是A點縱坐標的4倍，A，B在y軸兩側，且S△OAB=

3

4

，求l的方程．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：圓心、切點與點F形成的四邊形為正方形，因為半徑為

5

，所以點F到圓心的距離為

10

，即可得1+(

p

2

+2)2=10，進而求出p的數值．
（II）①設A，B兩點的坐標分別為（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），利用導數求出切線的斜率，寫出兩條切線的方程，求出交點P的坐標，進而求出k_PF=

1+b

-2k

，所以k-k_PF=k-

1+b

-2k

=k+

1+b

2k

=

k2+b+k2+1

2k

，所以由基本不等式可得：k-k_PF＞

k2+1

2k

≥1．
②聯立直線與拋物線的方程，利用根與系數的關系得到x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，因為B點縱坐標是A點縱坐標的4倍，可得x₂=-2x₁．進而得到b=8k²．因為S△OAB=

3

4

，結合題意可得

b

2

16k2+16b

=

3

4

，進而得到k=

1

4

，b=

1

2

．

解答：解：（I）由題意可得：過F點作圓：（x+1）²+（y+2）²=5的兩條切線互相垂直，切點分別為M，N．
所以由圓心、切點與點F形成的四邊形為正方形，
因為半徑為

5

，
所以點F到圓心的距離為

10

，即可得1+(

p

2

+2)2=10，
解得：p=2或者p=-10（舍去），
所以拋物線的方程為x²=4y．

（II）①設A，B兩點的坐標分別為（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），
因為拋物線的方程為x²=4y，
所以y′=

1

2

x．
所以切線AP為：y=

1

2

x1x-

x 2 1

4

…①
切線BP的方程為：y=

1

2

x2x-

x 2 2

4

…②，
由①②可得點P的坐標為（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）．
聯立直線l：y=kx+b與拋物線的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
所以可得點P的坐標為（2k，-b），
所以k_PF=

1+b

-2k

，
所以k-k_PF=k-

1+b

-2k

=k+

1+b

2k

=

k2+b+k2+1

2k

＞

k2+1

2k

，
所以由基本不等式可得：k-k_PF＞

k2+1

2k

≥1．
所以k-k_PF＞1．
②設A，B兩點的坐標分別為（x₁，

x 2 1

4

），（x₂，

x 2 2

4

），
由題意可得：聯立直線l：y=kx+b與拋物線的方程的方程可得：x²-4kx-4b=0，
所以△=16k²+16b＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，…①
因為B點縱坐標是A點縱坐標的4倍，
所以

x 2 2

4

=4

x 2 1

4

，即x₂²=4x₁²．
因為A，B在y軸兩側，
所以x₂=-2x₁…②
由①②可得：b=8k²…③．．
又因為S△OAB=

1

2

×b|x1-x2|=

b

2

×  

(x1+x2)2-4x1x2

 =

3

4

，
所以結合①整理可得：

b

2

16k2+16b

=

3

4

…④，
所以由③④可得：k=

1

4

，b=

1

2

．
所以l的方程為：l：y=

1

4

x+

1

2

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握拋物線的標準方程，以及直線與拋物線的位置關系，并且熟練利用利用數形結合的數學思想解決數學問題．