Question

在平面直角坐標系中，已知點，點在直線：上運動，過點與垂直的直線和線段的垂直平分線相交于點．
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)過(1)中的軌跡上的定點作兩條直線分別與軌跡相交于，兩點．試探究：當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

(1) (2) 當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為定值

解析試題分析：(1)由線段垂直平分線的性質知, ,所以動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線.易知其標準方程為.
設、，,可由點差法求出,
,
由直線，的傾斜角互補，得
定值
試題解析：(1)依題意，得                               1分
∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線         3分
∴動點的軌跡的方程為                     4分
(2)∵、，在拋物線上
∴                                          5分
由①-②得，
∴直線的斜率為                7分
同理可得，直線的斜率為                9分
∴當直線，的傾斜角互補時，有
即
∴                                     11分
由②-③得，
∴直線的斜率為    ④      13分
將代入④，得
∴當直線，的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為定值    14分
考點：1、拋物線的定義和標準方程；2、點差法的應用.