Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，平面平面，點為上一點．

（1）若平面，求證：點為中點；

（2）求證：平面平面．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）連接AC交BD于O，連接OM，由PA∥平面MBD證明PA∥OM，利用平行四邊形證明M是PC的中點；

（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判斷△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由題意得出BD⊥CD，證得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD．

（1）連接AC交BD于O，連接OM，如圖所示；

因為PA∥平面MBD，PA平面PAC，平面PAC∩平面MBD＝OM，

所以PA∥OM；

因為四邊形ABCD是平行四邊形，

所以O是AC的中點，

所以M是PC的中點；

（2）△ABD中，AD＝2，AB＝1，∠BAD＝60°，

所以BD2＝AB2+AD2﹣2ABADcos∠BAD＝3，

所以AD2＝AB2+BD2，所以AB⊥BD；

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；

又因為平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD，BD平面ABCD，

所以BD⊥平面PCD；

因為BD平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．