Question

已知函數(shù)f(x)=

x-a

x-2

，
（1）若a∈N，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)，求a的值；
（2）若a∈R，且函數(shù)f（x）=-x恰有一根落在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用分離常數(shù)法把f（x）化簡(jiǎn)，再用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求a的值
（2）轉(zhuǎn)化為F（x）=f（x）+x在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)有一根，再利用F（x）在區(qū)間（-2，-1）上兩端點(diǎn)值一正一負(fù)求a的取值范圍

解答：解：（1）f(x)=

x-a

x-2

=1+

2-a

x-2

，由于函數(shù)在（2，+∞）上遞減，所以2-a＞0，即a＜2，
又a∈N，所以a=0，或者a=1
a=0時(shí)，f(x)=1+

2

x-2

；a=1時(shí)，f(x)=1+

1

x-2

故  a=0，或者a=1
（2）令F（x）=f（x）+x=

x-a

x-2

+x=x+1+

2-a

x-2

F(-2)=-1+

2-a

-4

=

6-a

-4

F(-1)=

2-a

-3

當(dāng)F(-2)•F(-1)=

6-a

-4

•

2-a

-3

＜0時(shí)，
即（a-2）（a-6）＜0，2＜a＜6時(shí)函數(shù)可能有一根在所給區(qū)間中．
（或用根與系數(shù)的關(guān)系）
故  2＜a＜6

點(diǎn)評(píng)：對(duì)函數(shù)零點(diǎn)存在的判斷中，必須強(qiáng)調(diào)：①函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)，②在區(qū)間的兩端點(diǎn)值一正一負(fù)．