Question

某種家用電器的銷售利潤與該電器的無故障使用時間有關．每臺這種家用電器，若無故障使用時間不超過一年，則銷售利潤為0元；若無故障使用時間超過一年不超過三年，則銷售利潤為100元；若無故障使用時間超過三年，則銷售利潤為200元．己知每臺這種家用電器無故障使用時間不超過一年的概率為，無故障使用時間超過一年不超過三年的概率為．記ξ表示銷售兩臺這種家用電器的銷售利潤總和．
（Ⅰ） 求ξ的分布列及數學期望；
（Ⅱ）設“函數在區間（2，3）上有且只有一個零點”為事件A，求事件A發生的概率．

Answer 1

解：（Ⅰ）ξ的可能取值為0，100，200，300，400．（1分）
P（ξ=0）=×=，
P（ξ=100）=2××=，
P（ξ=200）=2××+×=，
P（ξ=300）=2××=，
P（ξ=400）=×=；
隨機變量ξ的分布列為

ξ	0	100	200	300	400
p

所求的數學期望為Eξ=0×+100×+200×+300×+400×=240（元）
所以隨機變量ξ的數學期望為240元．
（Ⅱ）∵函數在區間（2，3）上有且只有一個零點，且對稱軸
∴得，
于是ξ=200，
∴因此事件A發生的概．
分析：（Ⅰ）根據題意，分析可得ξ的可能取值為0，100，200，300，400；由相互獨立事件的概率，計算可得ξ取不同值的概率，即可得其分布列，進而有期望的求法，計算可得答案；
（Ⅱ）依據題意，由二次函數的性質，可得函數的對稱軸，可得∴，解可得ξ的范圍，結合（Ⅰ）的分布列，可得ξ的值，同時可得答案．
點評：本題考查隨機變量的分布列與期望的計算，要求學生不但能夠計算，還要會進一步的應用；解題時注意（Ⅱ）要依據（Ⅰ）的結論．