Question

函數f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個命題：
①函數在區間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數；
②直線x=

π

8

是函數圖象的一條對稱軸；
③函數f（x）的圖象可由函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

個單位長度而得到；
④若x∈[0，

π

2

]，則f（x）的值域是[-1，

2

]．
其中所有正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：化簡函數為同角同名函數，利用2cos²x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=

2

sin（2x+

π

4

）．再利用正弦函數的性質，對稱軸方程x=kπ+

π

2

，k∈z；遞減區間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，k∈z，及函數圖象的變化規律解決．

解答：解：首先對函數進行化簡，f（x）=2cos²x+sin2x-1=sin2x+cos2x=

2

（sin2xcos

π

4

+cos2xsin

π

4

）=

2

sin（2x+

π

4

）．
對①，令2x+

π

4

=kπ+

π

2

，得對稱軸方程x=

kπ

2

+

π

8

，k∈z，∴②正確；
對①，令2kπ+

π

2

＜2x+

π

4

＜2kπ+

3π

2

，得 kπ+

π

8

＜x＜kπ+

5π

8

，k∈z．函數的遞減區間為[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈z，∴①√；
對③，平移的單位應是

π

8

，∴③×．
對④，當x∈[0，

π

8

]時f（x）單調遞增，當x∈[

π

8

，

π

2

]時單調遞減，f（

π

8

）=

2

，f（

π

2

）=-1∴值域是[-1，

2

]，∴④√．
故答案是①②④

點評：牢記三角函數的性質及圖象變化規律，利用整體代入求解復合函數的對稱軸、單調區間、值域是本題的關鍵．