Question

如圖，多面體ABC－A₁B₁C₁中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁＝BB₁＝2CC₁＝4.

(1)若O是AB的中點，求證：OC₁⊥A₁B₁；
(2)在線段AB₁上是否存在一點D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在，確定點D的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）點D是AB₁的中點

(1)證明：取線段A₁B₁的中點E，連接OE，C₁E，CO，

已知等邊三角形ABC的邊長為4，AA₁＝BB₁＝2CC₁＝4，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥CC₁，
∴四邊形AA₁B₁B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，
又∵CO∩OE＝O，
∴AB⊥平面EOCC₁，
又A₁B₁∥AB，OC₁?平面EOCC₁，故OC₁⊥A₁B₁，
(2)設OE∩AB₁＝D，則點D是AB₁的中點，
∴ED∥AA₁，ED＝AA₁，
又∵CC₁∥AA₁，CC₁＝AA₁，
∴四邊形CC₁ED是平行四邊形，∴CD∥C₁E.
∵CD?平面A₁B₁C₁，C₁E?平面A₁B₁C₁，∴CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在點D使得CD∥平面A₁B₁C₁，點D是AB₁的中點．