Question

古希臘數學家把數1，3，6，10，15，21，…，叫做三角形數，它有一定的規律性，則第24個三角形數與第22個三角形數的差為

47

．

Answer 1

分析：根據題目所給三角形數的特點，結合數列的實質是函數，我們可以猜測三角形數的項和項數之間是不是滿足已學過的初等函數，明顯不是一次函數，可猜測二次函數，把前三項代入后求出二次函數的對應系數，然后再代入幾項驗證，如獲通過可用來求第22項和第24項．

解答：解：引入自變量n和因變量s，列表得

n	1	2	3	4	5	…
s	1	3	6	10	15	…

在猜想一次關系未獲通過的情況下，調整為二次函數關系s=an²+bn+c，把（1，1），（2，3），（3，6）分別代入解之，得關系式為s=

1

2

n2+

1

2

n，或化為s=

n(n+1)

2

．以（4，10），（5，15）驗證均獲通過．因此可求得第24個與第22個三角形數分別為300，253，故這兩個三角形數的差為47．
故答案為47．

點評：本題考查了數列的函數特性，同時考查了數學中的歸納猜想，根據數列前幾項的特點，猜想數列通項的函數性質，然后用部分已知條件代入猜想的結論，說明猜想的正確性，最后運用歸納猜想求得要求的結果．