Question

已知函數(shù)．（a，b∈R）
（ I）若f'（0）=f'（2）=1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（ II）若b=a+2，且f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為f'（x）=x²-2ax+b，
由f'（0）=f'（2）=1即得，
所以f（x）的解析式為．
（Ⅱ）若b=a+2，則f'（x）=x²-2ax+a+2，△=4a²-4（a+2），
（1）當△≤0，即-1≤a≤2時，f'（x）≥0恒成立，那么f（x）在R上單調遞增，
所以，當-1≤a≤2時，f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增；
（2）當△＞0，即a＞2或a＜-1時，
因為f'（x）=x²-2ax+a+2的對稱軸方程為x=a
要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，
需或
解得-2≤a＜-1或2＜a≤3．
綜上：當a∈[-2，3]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增．
分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導數(shù)，再根據(jù)f'（0）=f'（2）=1，就可求出a，b的值，代入函數(shù)解析式即可．
（ II）把b=a+2代入，使函數(shù)中只含參數(shù)a，因為f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，所以區(qū)間（0，1）是函數(shù)增區(qū)間的一個子區(qū)間，而函數(shù)是二次函數(shù)，開口向上，所以在對稱軸右側為增函數(shù)，所以只要（0，1）位于函數(shù)對稱軸右側即可．
點評：本題考查了導數(shù)的求法，以及函數(shù)單調性的判斷，做題時要細心．