Question

甲、乙兩個(gè)盒子中裝有大小相同的小球，甲盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，乙盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，從甲、乙兩盒中各取一球交換．
（I）求交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球的概率；
（II）設(shè)交換后甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，表示從乙盒中拿出的是一個(gè)黑球，從甲和中拿出的是一個(gè)紅球，根據(jù)這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率得到結(jié)果．
（II）由題意知交換后甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為ξ，ξ的可能取值是1，2，3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫(xiě)出分布列，在變量等于2時(shí)要注意包含兩種情況，一是從兩個(gè)盒子中各拿一個(gè)紅球，二是各拿一個(gè)黑球，這兩種情況是互斥的．

解答：解：（I）甲盒中有2個(gè)黑球和2個(gè)紅球，乙盒中有2個(gè)黑球和3個(gè)紅球，
從甲、乙兩盒中各取一球交換．交換后甲盒中黑球多于乙盒中黑球，
表示從乙盒中拿出的是一個(gè)黑球，從甲和中拿出的是一個(gè)紅球，
根據(jù)這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，
∴P=

2

4

×

2

5

=

1

5

（II）由題意知交換后甲盒中黑球的個(gè)數(shù)為ξ，ξ的可能取值是1，2，3
P（ξ=1）=

1

2

×

3

5

=

3

10

，
P（ξ=2）=

1

2

×

2

5

+

1

2

×

3

5

=

1

2

P（ξ=3）=1-

3

10

-

1

2

=

1

5

，
∴Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

5

=11.9

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是一個(gè)近幾年經(jīng)常考到的問(wèn)題，注意本題的解題格式．