Question

附加題必做題
  設n是給定的正整數，有序數組（a₁，a₂，…，a_2n）同時滿足下列條件：
①a_i∈{1，-1}，i=1，2，…，2n；    ②對任意的1≤k≤l≤n，都有|

2l

i=2k-1

ai|≤2．
（1）記A_n為滿足“對任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0”的有序數組（a₁，a₂，…，a_2n）的個數，求A_n；
（2）記B_n為滿足“存在1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0”的有序數組（a₁，a₂，…，a_2n）的個數，求B_n．

Answer 1

分析：（1）根據題意，對任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0，則a_2k-1、a_2k必為1、-1或-1、1，有兩種情況，由分步計數原理，計算可得答案；
（2）根據題意，分析可得，若1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0，則所以a_2k-1+a_2k=2或a_2k-1+a_2k=-2，進而設所有這樣的k為k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），進而分析可得a2kj-1+a2kj的值由a2k1-1+a2k1的值（2或-2）確定，又由其余的（n-m）對相鄰的數每對的和均為0，則可得B_n=2C_n¹×2^n-1+2C_n²×2^n-2+…+2C_nⁿ，計算可得答案．

解答：解（1）因為對任意的1≤k≤n，都有a_2k-1+a_2k=0，則a_2k-1、a_2k必為1、-1或-1、1，有兩種情況，
有序數組（a₁，a₂，…，a_2n）中有n組a_2k-1、a_2k
所以，An=

2×2×…×2

n個2相乘

=2n；    
（2）因為存在1≤k≤n，使得a_2k-1+a_2k≠0，
所以a_2k-1+a_2k=2或a_2k-1+a_2k=-2，
設所有這樣的k為k₁，k₂，…k_m（1≤m≤n），
不妨設a2kj-1+a2kj=2(1≤j≤m)，則a2kj+1-1+a2kj+1=-2（否則|

2kj+1

i=2kj-1

ai|=4＞2）；
同理，若a2kj-1+a2kj=-2(1≤j≤m)，則a2kj+1-1+a2kj+1=2，
這說明a2kj-1+a2kj的值由a2k1-1+a2k1的值（2或-2）確定，
又其余的（n-m）對相鄰的數每對的和均為0，
所以，B_n=2C_n¹×2^n-1+2C_n²×2^n-2+…+2C_nⁿ=2（2ⁿ+C_n¹×2^n-1+C_n²×2^n-2+…+C_nⁿ）-2×2ⁿ=2（1+2）ⁿ-2×2ⁿ=2（3ⁿ-2ⁿ）．

點評：本題是新定義的題型，關鍵是正確理解題意中新定義的定義，緊扣其定義分析、解題．