Question

要在墻上開一個矩形的玻璃窗，周長限定為6米，
（1）求以矩形的一邊長x表示窗戶的面積y的函數(shù)；
（2）求這函數(shù)圖象的頂點坐標及對稱軸方程；
（3）畫出這函數(shù)的圖象，并求出x的允許值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于矩形的周長為定值，所以若設(shè)其長為x米，則其寬為3-x，代入矩形面積公式易得邊長x表示窗戶的面積y的函數(shù)；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，我們對（1）的結(jié)論進行配方，化為頂點式后，易得函數(shù)圖象的頂點坐標及對稱軸方程；
（3）根據(jù)函數(shù)解析式，我們可以確定函數(shù)圖象的頂點、與坐標軸的交點，開口方向等，然后不難畫出函數(shù)的圖象，再由其長為x米，則其寬為3-x，均為正數(shù)，易得出x的允許值范圍．
解答：解：（1）因為矩形周長為6米，
所以若設(shè)其長為x米，則其寬為3-x，
∴窗戶的面積y=x（3-x）=-x²+3x．
（2）由y=-x²+3x，可得，
故其頂點坐標為，
對稱軸方程為．
（3）令x²-3x=0，
∴x₁=0，x₂=3．
故圖象與x軸相交于點（0，0），（3，0），其圖象如圖，
根據(jù)問題的實際意義，必須y＞0，
所以x的允許值范圍為：0＜x＜3．
點評：點評：在不等式的實際應(yīng)用中，我們要經(jīng)過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮，如本題中，窗口的長為x米，則其寬為3-x，均為正數(shù)，故x的允許值范圍為：0＜x＜3．