Question

平面內動點P到點F（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）若點A，B，C是Γ上的不同三點，且滿足．證明：△ABC不可能為直角三角形．

Answer 1

（Ⅰ）解：由條件可知，點P到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，
所以點P的軌跡是以F（1，0）為焦點，x=-1為準線的拋物線，其方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）解法一：假設△ABC是直角三角形，不失一般性，設∠A=90°，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
則由，，，
可得（x₂-x₁）（x₃-x₁）+（y₂-y₁）（y₃-y₁）=0．…（6分）
因為（i=1，2，3），y₁≠y₂，y₁≠y₃，
所以（y₁+y₂）（y₁+y₃）+16=0．…（8分）
又因為，所以x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，
所以y₂y₃=-16． ①
又，
所以，即． ②…（10分）
由①，②得，所以． ③
因為△=（-22）²-4×256=-540＜0．
所以方程③無解，從而△ABC不可能是直角三角形．…（12分）
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由，
得x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0．…（6分）
由條件的對稱性，欲證△ABC不是直角三角形，只需證明∠A≠90°．
（1）當AB⊥x軸時，x₁=x₂，y₁=-y₂，從而x₃=3-2x₁，y₃=0，即點C的坐標為（3-2x₁，0）．
由于點C在y²=4x上，所以3-2x₁=0，即，
此時，，C（0，0），則∠A≠90°．…（8分）
（2）當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：x=ty+m（t≠0），代入y²=4x，
整理得：y²-4ty-4m=0，則y₁+y₂=4t．
若∠A=90°，則直線AC的斜率為-t，同理可得：．
由y₁+y₂+y₃=0，得，，y₃=-4t．
由x₁+x₂+x₃=3，可得．
從而+（-4t）²=12，
整理得：，即8t⁴-11t²+8=0，①
△=（-11）²-4×8×8=-135＜0，所以方程①無解，從而∠A≠90°．…（11分）
綜合（1），（2），△ABC不可能是直角三角形．…（12分）
分析：（Ⅰ）由條件可知，點P到點F（1，0）的距離與到直線x=-1的距離相等，從而可求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）解法一：利用反證法，假設△ABC是直角三角形，不失一般性，設∠A=90°，利用，及，可建立方程，利用方程的判別式，即可得出結論；
解法二：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由，得x₁+x₂+x₃=3，y₁+y₂+y₃=0，由條件的對稱性，欲證△ABC不是直角三角形，只需證明∠A≠90°，分類討論，斜率存在時，設直線AB的方程為：x=ty+m（t≠0），代入y²=4x，再假設∠A=90°，建立方程，利用方程的判別式，即可得出結論．
點評：本題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等．