Question

（本題滿分12分）
已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三個連續的自然數。如果a，b，c能夠作為一個三角形的三邊長，且該三角形的最大角是最小角的2倍，求所有滿足條件的集合A。

Answer 1

A=｛4,5,6｝  

解法一：依題意，不妨設，對應的三個內角是
由正弦定理，       …………………………4分
所以              …………………………6分
由余弦定理， ……………8分
即 化簡，得：             
所以，不合題意，舍去。
，三角形的三邊長為4,5,6.            …………………………10分
可以驗證此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故：A=｛4,5,6｝                          …………………………12分
解法二：先考慮三角形應滿足的第一個性質：三邊是連續的自然數
⑴三邊長不可能是1,2,3，因為1+2=3而三角形的任何兩邊之和都大于第三邊；
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三邊長分別是a=2，b=3，c=4
因為，

此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是所以2A≠C從而三邊
長分別是a=2，b=3，c=4不符合條件。          …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三邊長分別是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是90⁰，最小角不等于45⁰，此三角形不滿足條件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三邊長分別是a=4，b=5，c=6，此時
，，

因為，所以2A=C
故三邊長分別是a=4，b=5，c=6滿足條件。    …………………………8分
⑸當n>4時，三角形ABC的三邊長分別是a=n，b=n+1，c=n+2時，三角形的最小角是A，最大角是C，


隨n的增大而減小，A隨之增大，隨n的增大而增大，C隨之減小。由于n=4時有2A=C，所以n>4時不可能有2A=C。     …………………………11分
總上可知，只有邊長分別為4,5,6的三角形滿足條件，即A=｛4,5,6｝ …………12分