Question

已知三點O（0，0），A（1，0），P（x，y）且設x≥1，y≠0．
（1）如果選取一點Q，使四邊形OAPQ成為一平行四邊形，則Q的坐標是

 

（2）如果還要求AP的中垂線通過Q點，則x，y的關系是

 

．
（3）再進一步要求四邊形OAPQ是菱形，則x=

 

時．

Answer 1

分析：（1）用向量相等坐標分別相等求出Q
（2）用向量垂直數量積為零得x，y的關系
（3）四邊形OAPQ是菱形，其對角線垂直相應的向量垂直，數量積為零得x．

解答：（1）設Q的坐標是（m，n）
∵四邊形OAPQ成為一平行四邊形
∴

OA

=

QP

（1，0）=（x-m，y-n）
∴

1=x-m 0=y-n

∴m=x-1，n=y即Q（x-1，y）
（2）AP的中點為M(

x+1

2

，

y

2

)
∵AP的中垂線通過Q點
∴

MQ

⊥

AP

∴MQ

•

AP

=0
∴（

x-3

2

，

y

2

）•（x-1，y）=0
即x²+y²-4x+3=0
（3）∵四邊形OAPQ是菱形
∴

OP

⊥

AP

∴

OP

•

AP

=0
∴（x，y）•（x-1，y）=0
∴x²+y²-x=0
又x²+y²-4x+3=0，x≥1，y≠0
解得x=1

點評：本題考查兩向量垂直的充要條件在幾何問題中的應用．