Question

已知二次函數f（x）=x²-mx+m-1（m∈R）．
（1）函數在區間[-1，1]上的最小值記為g（m），求g（m）的解析式；
（2）求（1）中g（m）的最大值；
（3）若函數y=|f（x）|在[2，4]上是單調增函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）=x²-mx+m-1=(x-

m

2

)2-

m2

4

+m-1，對稱軸為x=

m

2

．
①若

m

2

＜-1，即m＜-2，此時函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞增，所以最小值g（m）=f（-1）=2m．
②若-1≤

m

2

≤1，即-2≤m≤2，此時當x=

m

2

時，函數f（x）最小，最小值g（m）=f（

m

2

）=-

m2

4

+m-1．
③若

m

2

＞1，即m＞2，此時函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減，所以最小值g（m）=f（1）=0．
綜上g（m）=

2m，m＜-2 - m2 4 +m-1，-2≤m≤2 0，m≥2

．
（2）由（1）知g（m）=

2m，m＜-2 - m2 4 +m-1，-2≤m≤2 0，m≥2

．
當m＜-2時，g（m）=2m＜-4，
當-2≤m≤2，g（m）=-

m2

4

+m-1=-

1

4

(m2-4m)-1=-

1

4

(m-2)2-2≤-2
當m≥2時，g（m）=0．
綜上g（m）的最大值為0．
（3）要使函數y=|f（x）|在[2，4]上是單調增函數，則f（x）在[2，4]上單調遞增且恒非負，或單調遞減且恒非正，
∴

m 2 ≤2 f(2)≥0

或

m 2 ≥4 f(2)≤0

，
所以

m≤4 f(2)=3-m≥0

或

m≥8 f(2)=3-m≤0

，
解得m≤3或m≥8．