Question

（2012•黃州區模擬）（理）（1）證明不等式：ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）已知函數f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．
（3）若關于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，求實數b的最大值．

Answer 1

分析：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，證明h（x）在（0，+∞）上單調遞減，即h（x）＜h（0），從而可得結論；
（2）求導函數，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，根據函數f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上單調遞增，可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，從而可求實數a的取值范圍；
（3）關于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等價于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，當x＞0時，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

，構造函數g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，利用ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0），可得g（x）在（0，+∞）上單調增，從而可求實數b的最大值．

解答：（1）證明：（1）令h（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，則h′（x）=

1- 1+x+ 1 4 x2 1+x

1+x

＜0
∴h（x）在（0，+∞）上單調遞減，即h（x）＜h（0）=0
∴ln（1+x）-

x

1+x

＜0
∴ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
（2）解：求導函數，可得f′（x）=

x[x-(a2-2a)]

(x+1)(x+a)2

，令f′（x）=0，可得x=0或x=a²-2a，
∵函數f（x）=ln（1+x）-

ax

a+x

在（0，+∞）上單調遞增
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立
∴a²-2a≤0
∵f（x）在（0，+∞）上有意義
∴a≥0
∴0≤a≤2；
（3）解：關于x的不等式

x

1+bx

+

1

ex

≥1在[0，+∞）上恒成立，等價于

x

1+bx

≥1-

1

ex

在[0，+∞）上恒成立，
∵1-

1

ex

≥0，∴b≥0
當x＞0時，b≤1+

1

ex-1

-

1

x

構造函數g（x）=1+

1

ex-1

-

1

x

，則g′(x)=-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

由（1）知，ln（1+x）＜

x

1+x

（x＞0）．
以e^x代1+x，可得x＜

ex-1

ex

，
∵x＞0，∴-

ex

(ex-1)2

+

1

x2

＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上單調增
當x＞0且x→0時，g（x）→1
∴b≤1
∴實數b的最大值為1

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查函數的構造，屬于中檔題．