Question

【題目】某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產(chǎn)部件6件，或部件3件，或部件2件．該企業(yè)計劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)部件的人數(shù)與生產(chǎn)部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為（為正整數(shù)）．

（1）設(shè)生產(chǎn)部件的人數(shù)為，分別寫出完成三件部件生產(chǎn)需要的時間；

（2）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案．

Answer 1

【答案】（1）A:，B:，C:，其中均為1到200之間的正整數(shù)；（2）當(dāng)時，完成訂單任務(wù)的時間最短，此時，生產(chǎn)三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．

【解析】

試題分析：（1）產(chǎn)品件數(shù)都是3000，關(guān)鍵是求出人數(shù)分配，由題意生產(chǎn)A部件人數(shù)為，則B有人，C有人，這樣由產(chǎn)品件數(shù)除以人數(shù)可得時間；（2）的最大值就是完成任務(wù)所需時間，記為，注意到，為了求最小值，因此可分類和，為減函數(shù)，為增函數(shù)，時，，在時，取得最小值，當(dāng)時，，此時

，因此，由于是遞增，因此也量時，取得最小值，比較兩個最小值的大小后發(fā)現(xiàn)時更小，從而確定時，時間最小．

試題解析：（1）設(shè)完成三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間（單位：天）分別為，由題設(shè)有，

，

其中均為1到200之間的正整數(shù)

（2）完成訂單任務(wù)的時間為．

易知，為減函數(shù)，為增函數(shù)，注意到，

于是①當(dāng)時，，此時，，

由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時，取得最小值，解得，

由于，而，∵，

∴當(dāng)時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為

②當(dāng)時，，由于為正整數(shù)，∴，

此時，．

記，易知，是增函數(shù)，

則，

由函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時，取得最小值，解得，

由于，而，

此時，完成訂單任務(wù)的最短時間大于．

綜上所述，當(dāng)時，完成訂單任務(wù)的時間最短，此時，生產(chǎn)三種部件的人數(shù)分別為44，88，68．