Question

已知函數f（x）=x³-3ax，
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）當a=1時，求證：直線4x+y+m=0不可能是函數f（x）圖象的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，導函數大于0時可求原函數的增區間，導函數小于0時可求原函數的減區間．
（2）將a=1代入函數確定解析式，然后對函數f（x）進行求導，可發現導函數不可能等于-4從而得證．
解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
當a≤0時，f′（x）=3x²-3a≥0對x∈R恒成立，
∴f（x）的遞增區間為（-∞，+∞）．
當a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜-或x＞，
由f′（x）＜0，得-＜x＜．
此時，f（x）的遞增區間是（-∞，-）和（，+∞）；
遞減區間是（-，）．
（2）證明：∵a=1，∴f′（x）=3x²-3．
直線4x+y+m=0的斜率為-4，假設f′（x）=-4，即3x²+1=0．
此方程無實根，∴直線4x+y+m=0不可能是函數f（x）圖象的切線．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．