Question

（2011•西山區模擬）為調查某市學生百米運動成績，從該市學生中按照男女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組[13，14），第二組[14，15）…第五組[17，18]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

性別 是否 達標	男	女	合計
達標	a=24	b= 6	30
不達標	c= 8	d=12	20
合計	32	18	n=50

（Ⅰ） 設m，n表示樣本中兩個學生的百米測試成績，已知mn∈[13，14）∪[17，18]求事件“|m-n|＞2”的概率；
（Ⅱ） 根據有關規定，成績小于16秒為達標．
如果男女生使用相同的達標標準，則男女生達標情況如附表：
根據上表數據，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥K）	0.050	0.010	0.001
K	3.841	6.625	10.828

Answer 1

分析：（I）成績在[13，14）的人數有2人，設為a，b．成績在[17，18]的人數有3人，設為A，B，C；基本事件總數為10，事件“|m-n|＞2”由6個基本事件組成．根據古典概型公式可求出所求．
（Ⅱ）根據列聯表所給的數據，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結果，把觀測值的結果與臨界值進行比較，即可求得．

解答：解：（Ⅰ）成績在[13，14）的人數有：50×0.04=2人，設為a，b．
成績在[17，18]的人數有：50×0.06=3人，
設為A，B，C．m，n∈[13，14）時有ab一種情況．
m，n∈[17，18]時有AB，AC，BC三種情況．
m，n分別在[13，14）和[17，18]時有aA，aB，aC，bA，bB，bC六種情況．
基本事件總數為10，事件“|m-n|＞2”由6個基本事件組成．
所以P（|m-n|＞2）=

6

10

=

3

5

（13分）…（6分）
（Ⅱ）依據題意得相關的2×2列列聯表聯表如下：

性別 是否達標	男	女	合計
達標	a=24	b=6	30
不達標	c=8	d=12	20
合計	32	18	n=50

…（9分）
K2=

50×(24×12-6×8)2

32×18×30×20

≈8.333＞6.625，
故有99%的把握認為“體育達標與性別有關”
故可以根據男女生性別劃分達標的標準…（12分）

點評：本題主要考查了獨立性檢驗的應用、頻率分布直方圖，以及古典概型的概率問題、用樣本的數字特征估計總體的數字特征等有關知識，屬于中檔題．