Question

在△ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別a、b、c，B=

2π

3

，a=2csinA．設函數f（x）=sin2x+4cosAcos²x
（1）求角C的大小；
（2）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理化簡已知的等式，根據sinA的值不為0，得出sinC的值，由B的度數，得出A+C的度數，利用特殊角的三角函數值即可得到C的度數；
（2）由（1）得出的C=A，將A的度數代入函數解析式中利用特殊角的三角函數值化簡，再利用二倍角的余弦函數公式化簡，最后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，由正弦函數的遞增區間列出關于xx的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的單調遞增區間．

解答：解：（1）由正弦定理化簡a=2csinA得：sinA=2sinCsinA，
∵sinA≠0，∴sinC=

1

2

，
∵B=

2π

3

，∴A+C=

π

3

，
則C=A=

π

6

；
（2）f（x）=sin2x+4cos

π

6

cos²x=sin2x+2

3

cos²x
=sin2x+

3

（1+cos2x）=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
則函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．

點評：此題考查了正弦定理，二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的單調性，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．