Question

（2012•浙江模擬）平面內與直線平行的非零向量稱為直線的方向向量；與直線的方向向量垂直的非零向量稱為直線的法向量．在平面直角坐標系中，利用求動點的軌跡方程的方法，可以求出過點A（2，1）且法向量為

n

=(-1，2)的直線（點法式）方程為-（x-2）+2（y-1）=0，化簡后得x-2y=0．類比以上求法，在空間直角坐標系中，經過點A（2，1，3），且法向量為

n

=(-1，2，1)的平面（點法式）方程為

x-2y-z+3=0

（請寫出化簡后的結果）．

Answer 1

分析：類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則

AP

=（x-2，y-1，z-3），再由平面法向量為

n

=(-1，2，1)，可得-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，
化簡可得結果．

解答：解：類比平面中求動點軌跡方程的方法，在空間任取一點P（x，y，z），則

AP

=（x-2，y-1，z-3），
∵平面法向量為

n

=(-1，2，1)，
∴-1（x-2）+2（y-1）+1（z-3）=0，化簡可得 x-2y-z+3=0，
故答案為 x-2y-z+3=0．

點評：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．由于平面向量與空間向量的運算性質相似，故我們可以利用求平面曲線方程的辦法，構造向量，利用向量的性質解決空間內平面方程的求解．