Question

已知圓C：x²+y²+2mx+4y+2m²-3m=0，若過點（1，-2）可作圓的切線有兩條，則實數m的取值范圍是（　　）

• A．(-∞，-1)∪(

  3

  2

  ，+∞)
• B．（-1，4）
• C．(

  3

  2

  ，4)
• D．(-1，

  3

  2

  )

Answer 1

分析：把圓C的方程化為標準方程，表示出圓心C的坐標和半徑r，且根據被開方數大于0列出關于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，再由過點A（1，-2）可作圓的兩條切線，可得出點A在圓C外，即|AC|小于r，利用兩點間的距離公式列出關于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范圍，找出兩解集的公共部分即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：把圓C的方程化為標準方程得：（x+m）²+（y+2）²=-m²+3m+4，
∴圓心C坐標為（-m，-2），半徑r=

-m2+3m+4

，且-m²+3m+4＞0，
∴m²-3m-4＜0，即（m-4）（m+1）＜0，解得：-1＜m＜4，
∵過點A（1，-2）可作圓的切線有兩條，
∴點A在圓外，
∴|AC|＞r，即

(m+1)2+02

＞

-m2+3m+4

，
兩邊平方，整理得：2m²-m-3＞0，即（2m-3）（m+1）＞0，
可化為：

2m-3＞0 m+1＞0

或

2m-3＜0 m+1＜0

，
解得：m＞

3

2

或m＜-1，又-1＜m＜4，
∴

3

2

＜m＜4，
則實數m的取值范圍為（

3

2

，4）．
故選C

點評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：圓的標準方程，二元二次方程構成圓的條件，兩點間的距離公式，一元二次不等式的解法，其中根據過點（1，-2）可作圓的切線有兩條得出此點在圓外是解本題的關鍵．