Question

已知直線的方向向量為，且過點，將直線繞著它與x軸的交點B按逆時針方向旋轉一個銳角得到直線，直線：.(kR).
（1）求直線和直線的方程；
（2）當直線，，所圍成的三角形的面積為3時，求直線的方程。

Answer 1

（1）直線方程為：，的方程為x-y-1=0；（2）直線的方程為：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.

解析試題分析：（1）本小題由已知條件利用點斜式方程能求出直線的方程（其中方向向量可用以求其斜率），設直線的傾斜角為，則的斜率為，從而可求得的方程；（2）可知直線過定點M（2，3），由，得直線與的交點為C(-5,-6),點A到的距離為，聯立得直線，的交點B（），又因為直線，，所圍成的三角形的面積為3，所以有，再利用兩點間的距離公式求得k的值，即可求得的方程.
試題解析：（1）因為直線的方向向量為，且過點，所以直線方程為：，整理，得.將直線繞著它與x軸的交點B按逆時針方向旋轉一個銳角得到直線，設直線的傾斜角為，且有B（1，0），則的斜率為，所以的方程為：y=x-1,整理得x-y-1=0.
（2）因為直線：，即為(x-2)k+(3-y)=0,所以過定點M（2，3），由，得直線與的交點為C(-5,-6),點A到的距離為，聯立得直線，的交點B（），又因為直線，，所圍成的三角形的面積為3，所以有，則，解得或，所以所求直線的方程為：7x-4y-2=0或13x-10y+4=0.
考點：直線的點斜式，斜截式方程，兩直線求交點，兩角和的正切公式，點到直線的距離公式，兩點間的距離公式，三角形的面積公式.