Question

已知函數f（x）=log_n+1x（n＞0），且g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）是奇函數．
（1）求實數n的值；
（2）求g（x）圖象與直線y=-2，x=1圍成的封閉圖形的面積S；
（3）對于任意a，b，c∈[M，+∞），且a≥b≥c．當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時，f（a），f（b），f（c）也總能作為某個三角形的三邊長，試求M的最小值．

Answer 1

（1）由題意可得g（x）=x+f（x+2）-f（n-x）
=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
=x+log_n+1（

x+2

n-x

）為奇函數，
故有f（0）=0+log_n+1（

0+2

n-0

）=0，解得n=2．
（2）由（1）可得g（x）=x+log_n+1（x+2）-log_n+1x（n-x）
是增函數，定義域為[-1，1]，
g（x）圖象與直線y=-2，x=1圍成的封閉圖形為矩形ACBD，
A（-1，-2），B（1，2）．
再根據曲線的對稱性可得，函數g（x）的圖象平分矩形ACBD的面積．
故所求的面積為S=

1

2

[（1-（-1）]×4=4．
（3）由題意可得b+c＞a，由于f（a），f（b），f（c）能作為某個三角形的三邊，
故有f（b）+f（c）＞f（a），即log₃b+log₃c＞log₃a，即bc＞a．
由于log₃c＞0，∴c＞1，故0＜M≤1不滿足題意．
再根據當1＜M＜2時，取b=c=M，a=M²，有M+M＞M²，即b+c＞a，滿足條件；
但此時 log₃M+log₃M=2log₃M=log3M2，即f（b）+f（c）=f（a），
f（a），f（b），f（c）不能作為某個三角形的三邊．
綜上可得，M的最小值為2．