Question

由坐標原點O向函數y=x³ -3x²的圖象W引切線l₁,切點P₁(x₁,y₁) (P₁,O不重合），再由點P₁引W的切線l₂，切點為P₂(x₂,y₂) (P₁, P₂不重合），…，如此繼續下去得到點列{P_n(x_n,y_n)}.

（1）求x₁的值；

（2）求x_n與x_n+1滿足的關系式；

（3）求的值。

Answer 1

解：（1）∵y=x³  -3x²，∴y^′=3x²-6x,

∵過點P₁(x₁,y₁) 的切線l₁的方程為y-( )= ()(x-x₁), 又l₁過點O(0,0),

∴-()=-x₁(),∴,∴x₁=或x₁=0.

∵P₁與O不重合, ∴x₁=.

(2) ∵過點P_n+1(x_n+1,y_n+1) 的切線l_n+1的方程為=(x-x_n+1), 又l_n+1過點P_n(x_n,y_n), ∴=(x_n-x_n+1), 整理得(x_n-x_n+1)² (x_n+2x_n+1)-3(x_n-x_n+1)²=0,

由已知得x_n≠x_n+1, ∴x_n+2x_n+1=3.

(3) ∵x_n+1=∴x_n+1-1=,∴{x_n-1}是以x₁-1=為首項,- 為公比的等比數列,

∴x_n-1=(-)^n-1, ∴x_n=1-(-)ⁿ  ∴