Question

（本小題滿分12分）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.
 
(Ⅰ)求橢圓M的標準方程；
(Ⅱ) 設直線與橢圓M有兩個不同的交點與矩形ABCD有兩個不同的交點.求的最大值及取得最大值時m的值.

Answer 1

(I) .(II) 時，取得最大值.

解析試題分析：（1）根據已知中的離心率和矩形的面積得到a,b,c的方程，進而求解橢圓方程。
（2）將已知中的直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理得到根與系數的關系，那么得到弦長公式，同時以及得到點S,T的坐標，進而得到比值。
(I)……①
矩形ABCD面積為8，即……②
由①②解得：， ∴橢圓M的標準方程是.
(II)，
設，則，
當  .
當時，有，
，
其中，由此知當，即時，取得最大值.
考點：本試題主要考查了橢圓方程的求解以及直線與橢圓位置關系的綜合運用。
點評：解決該試題的關鍵是運用代數的方法來解決解析幾何問題時，解析幾何的本質。能結合橢圓的性質得到其方程，并聯立方程組，結合韋達定理和判別式的到比值。