Question

【題目】某市舉行“中學生詩詞大賽”海選，規定：成績大于或等于90分的具有參賽資格．某校有800名學生參加了海選，所有學生的成績均在區間[30，150]內，其頻率分布直方圖如圖：
（Ⅰ）求獲得參賽資格的人數；
（Ⅱ）若大賽分初賽和復賽，在初賽中每人最多有5次選題答題的機會，累計答對3題或答錯3題即終止，答對3題者方可參加復賽．已知參賽者甲答對每一個問題的概率都相同，并且相互之間沒有影響，已知他連續兩次答錯的概率為 ，求甲在初賽中答題個數X的分布列及數學期望E（X）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意知，成績在[90，110）之間的頻率為

1﹣20×（0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125）=0.3，

0.3+（0.0125+0.0050）×20=0.65，

故所求獲得參賽資格的人數為800×0.65=520；

（Ⅱ）設甲答對每一個問題的概率為p，則（1﹣p）2= ，

∴p= ，

甲在初賽中答題個數X的所有取值為3，4，5；

則P（X=3）= + = ；

P（X=4）= + = ；

P（X=5）= = ；

故X的分布列為：

X	3	4	5
P

數學期望為E（X）=3× +4× +5× = ．

【解析】（Ⅰ）根據圖表求出成績在[90，110）之間的頻率，頻率乘以800就得出獲得參賽資格的人數。（Ⅱ）由題意利用伯努利概型求出甲在初賽中答題個數的概率，列表即得X的分布列，再根據方差的定義求出即可。
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．