Question

在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DEG；
（Ⅱ）求點B到平面DEG的距離．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由AD∥EF，EF∥BC，推斷出AD∥BC．又BC=2AD，G是BC的中點，進而可知AD∥GB，AD=GB，判斷出四邊形ADGB是平行四邊形，進而可知AB∥DG．利用線面平行的判定定理推斷出AB∥平面DEG．
（Ⅱ）由EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，推斷出EF⊥AE，根據線面垂直的判定定理推斷出AE⊥平面BEG，根據線面平行的判定定理推斷出AD∥平面BEG，進而可知AE的長為點D到平面BEG的距離，由EF∥BC，EF⊥平面AEB，推知BC⊥平面AEB，由線面垂直的性質推斷出BC⊥BE，求得△BEG的面積，則棱錐D-BEG的體積可求，依題意分別求得DG

2

，ED，EG可知其三角形為等邊三角形求得其面積設點B到平面DEG的距離為h，利用等體積法求得h．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，
∴AD∥BC．
又∵BC=2AD，G是BC的中點，
∴AD∥GB，AD=GB，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG．
∵AB?平面DGE，DG?平面DEG，
∴AB∥平面DEG．
（Ⅱ）∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，
∴EF⊥AE，
∵AE⊥EB，EB?平面BEG，EF?平面BEG，AE∩EB=E，
∴AE⊥平面BEG，
∵AD∥EF，EF?平面BEG，AD?平面BEG，
∴AD∥平面BEG，
∴AE的長為點D到平面BEG的距離，
∵EF∥BC，EF⊥平面AEB，
∴BC⊥平面AEB，
∵BE?平面AEB，
∴BC⊥BE，
∴S_△BEG=

1

2

BE•BG=

1

2

×2×2=2，
∴V_D-BEG=

1

3

AE•S_△BEG=

1

3

×2×2=

4

3

．
依題意DG=AB=

AE2+BE2

=2

2

，ED=

AD2+AE2

=2

2

，EG=

BE2+BG2

=2

2

，
∴S_△DEG=

1

2

×2

2

×

6

=2

3

，
設點B到平面DEG的距離為h，
V_B-DEG=

1

3

h•S_△DEG=

2 3

3

h=V_D-BEG=

4

3

，
∴h=

2 3

3

點評：本題主要考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，三棱錐體積的求法．在立體幾何中利用等體積法是求得點到面的距離的常用方法．