Question

定義映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知對所有的有序正整數對（m，n）滿足下述條件：①f（m，1）=1，②若n＞m，f（m，n）=0；③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]
則f（2，2）=

2

；f（n，2）=

2ⁿ-2

．

Answer 1

分析：分兩步走：①根據給定條件代入計算即可，②連環代入找規律即可得到結論．

解答：解：f（2，2）=f（1+1，2）=2[f（1，2）+f（1，1）]=2，
∴f（2，2）=2；
f（n，2）=2[f（n-1，2）+f（n-1，1）]=2f（n-1，2）+2=2（n-1）f（n-2，2）=…=n!
解：由題意，不妨設m＜n，則
f（n，2）=2[f（n-1，2）+f（n-1，1）]
=2f（n-1，2）+2
=2×2[f（n-2，2）+f（n-1，1）]+2
=2²f（n-2，2）+4+2
=…
=2^n-1f（1，2）+2^n-1+2^n-2+…+4+2
=2^n-1+2^n-2+…+4+2
=2ⁿ-2．
故答案為：2；2ⁿ-2．

點評：本題考查了映射的知識，在做題中注意給定條件的使用以及規律的發現．