Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A為橢圓＝1的右頂點，點D(1，0)，點P、B在橢圓上，＝.
 
(1) 求直線BD的方程；
(2) 求直線BD被過P、A、B三點的圓C截得的弦長；
(3) 是否存在分別以PB、PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）x＋y－1＝0.（2）4（3）x²＋(y－3)²＝2，(x－2)²＋(y－1)²＝2

1) 設P(x₀，y₀)．因為＝，且D(1，0)，A(3，0)，點B、P在橢圓上，所以B(－x₀，y₀)，所以x₀＝1，將其代入橢圓，得y₀＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直線BD的方程為x＋y－1＝0.
(2) 線段BP的垂直平分線方程為x＝0，線段AP的垂直平分線方程為y＝x－1.解方程組得圓心C的坐標為(0，－1)．所以圓C的半徑r＝CP＝.因為圓心C(0，－1)到直線BD的距離為d＝＝，所以直線BD被圓C截得的弦長為2 ＝4.
(3) 這樣的圓M與圓N存在．由題意得，點M一定在y軸上，點N一定在線段PC的垂直平分線y＝x－1上．當圓M與圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P、M、N在一條直線上，且PM＝PN.M(0，b)，則N(2，4－b)．因為點N(2，4－b)在直線y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以這兩個圓的半徑為PM＝，方程分別為x²＋(y－3)²＝2，(x－2)²＋(y－1)²＝2