Question

已知，f(x)=x(

1

2x-1

+

1

2

)，
（1）求f（x）的定義域     
（2）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；   
（3）證明f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）由2^x-1≠0即可求得f（x）的定義域；
（2）利用奇偶函數的定義f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）即可判斷f（x）的奇偶性；
（3）可對x分x＞0與x＜0討論解決．

解答：解：（1）由2^x-1≠0得x≠0，
∴f（x）的定義域為{x|x≠0，x∈R}．
（2）∵f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=

x

2

•

2x +1

2x-1

，
f（-x）=-

x

2

•

2-x +1

2-x-1

=

x

2

•

2x +1

2x-1

=f（x），
∴f（x）為偶函數．
（3）證明：∵f（x）=

x

2

•

2x +1

2x-1

，
當x＞0，2^x＞2⁰，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，
∴f（x）＞0；
同理當x＜0，則2^x-1＜0，又2^x+1＞0，
∴f（x）=

x

2

•

2x +1

2x-1

＞0；
∴f（x）＞0．
又x≠0．綜上所述，f（x）＞0．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，著重綜合考查函數的性質，屬于中檔題．